一、题目描述

原题连接： 746. 使用最小花费爬楼梯

题目描述：
题目描述：
给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，
即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：
输入： cost = [10,15,20]
输出： 15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。

支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

示例 2：
输入： cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出： 6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。

支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

二、解题

方法——动态规划

思路分析

其实这次的动态规划思路与青蛙跳台阶的思路非常类似，
既然题目已经规定了我们每次只能选择向上爬一个或者两个台阶，
也就说明了我们登上第n级台阶一定是从第n - 1或者n - 2级台阶爬上来的，
只不过我们每次都要选择两个中费用最小的罢了。
而对于到达n - 1或n - 2级台阶的最少费用也是用同样的方法求的。
由于题目中说到可以选择下表0或下标1作为初始台阶，
因此我们可以创建一个长度为n + 1的数组dp，dp[i]表示到达下标i的最小花费，
我们将dp[0]和dp[1]都初始化为0，
当2 <= i <= n时，我们可以选择从下标为i - 1的台阶花费cost[i - 1]向上爬1个台阶到下标为i的台阶，
也可以从下标为i - 2的台阶花费cost[i - 2]向上爬2个台阶到达下标为i的台阶。
只不过我们要选择其中费用较少的。
故状态转移方程为：
dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
这样，当我们一直算到dp[n]时，dp[n]即为到达楼层顶部的最小花费。

代码实现

// 有了以上思路，那我们写起代码来也就水到渠成了：

int Min(int x, int y) {
	return x < y ? x : y;
}
int minCostClimbingStairs1(int* cost, int costSize) {
	assert(cost);
	// 先模拟一个一维数组
	int* dp = (int*)malloc((costSize + 1) * sizeof(int));
	if (NULL == dp) {
		perror("minCostClimbingStairs");
		return -1;
	}
	int result = 0;
	dp[0] = 0;
	dp[1] = 0;
	int i = 0;
	for (i = 2; i < costSize + 1; i++) {
		dp[i] = Min(dp[i - 2] + cost[i - 2], dp[i - 1] + cost[i - 1]);
	}
	result = dp[costSize];
	free(dp);
	dp = NULL;
	return result;
}

时间复杂度：O(n)，n为cost数组的长度。
空间复杂度：O(n),n为cost数组的长度，我们需要用到n+1个额外的整型空间来存储爬到每个台阶的最少花费，股空间复杂度为O(n)。

改进

改进思路：
注意到上面的代码在当2 <= i <= n时，dp[i] 只与dp[i - 1]和dp[i - 2]有关，那我们就可以使用滚动数组的思想，只维护这三个变量，从而将空间复杂度降到O(1)。
代码实现：
有了以上改进思路，那我们再写起代码来也就水到渠成了：

int minCostClimbingStairs1(int* cost, int costSize) {
	assert(cost);
	int prev = 0;// 存储"动态的"到达第n - 2个台阶所要最少花费
	int curr = 0; // 存储"动态的"到达第n - 1个台阶所要最少花费
	int next = 0; // 存储"动态的"到达第n个台阶所要最少花费
	int i = 0;
	for (i = 2; i < costSize + 1; i++) {
		next = Min(prev + cost[i - 2], curr + cost[i - 1]);
		prev = curr;
		curr = next;
	}
	return next;
}